静磁場の基本法則
ここまでで、磁場を定める法則としてはBiot-Savartの法則しか得られていないが、実は静磁場の基本法則が2つ得られる。
静磁場の基本法則1
まず、磁場$\bm{B}$は、前回導入したベクトルポテンシャルポテンシャル$\bm{A}$を用いて次のように表せた：
\begin{align}
\bm{B}(\bm{x})=:\rot\bm{A}(\bm{x})=\nabla\times\bm{A}(\bm{x}).
\end{align}
任意のベクトル場$\bm{A}$に対して成立するベクトル解析の恒等式：
\begin{align}
\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})=0
\end{align}
によって、
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{B}(\bm{x})=0\label{eq: static_B_law1}
\end{align}
を得る。静電場の場合には、$\nabla\cdot\bm{E}(\bm{x})=\rho(\bm{x})/\varepsilon_0$だったことを思い出すと、電荷密度に対応する磁荷密度が常に存在しないことが示されている。これは、静磁場の基本法則の1つ目とできる。
また、時間変動する場合には、電場のときと同様に磁場の場合もそのまま拡張できる：
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{B}(\bm{x},t)=0.\label{eq: maxwell_gauss2}
\end{align}
静磁場の基本法則2
次もまた静電場の場合との対応を考えていく。発散に関する法則が1つ目であったから、2つ目は回転に関する法則である。再び、ベクトル解析の恒等式を利用すると次のように変形できる。
\begin{align}
\nabla\times\bm{B}&=\nabla\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-(\nabla\cdot\nabla)\bm{A}.\label{eq: rot_B_eqeq1}
\end{align}
まずは、第1項について、ベクトルポテンシャルの表式を用いて、
\begin{align}
\nabla\cdot \bm{A}&= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’\,\nabla\cdot \frac{\bm{i}(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\nonumber\\
&= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’\,\bm{i}(\bm{x}’)\cdot\left(\nabla\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\nonumber\\
&= -\frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’\,\bm{i}(\bm{x}’)\cdot\left(\nabla’\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\nonumber\\
&= -\frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’\,\left(\nabla’\cdot \frac{\bm{i}(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)+\frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’\,\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\left(\nabla’\cdot\bm{i}(\bm{x}’) \right)\nonumber\\
&=0\label{eq: calc_div_A_is0}
\end{align}
を得る。すなわち、式\eqref{eq: rot_B_eqeq1}の最右辺の第1項目はゼロとなる。ただし、上式で3つ目の等号は、$\nabla|\bm{x}-\bm{x}’|^{-1}=-\nabla’|\bm{x}-\bm{x}’|^{-1}$を用いた。また、$\nabla’$とは、$\nabla$の偏微分を$x’,y’,z’$に置き換えたものである：
\begin{align}
\nabla’:=\del{}{x’}+\del{}{y’}+\del{}{z’}
\end{align}
最後の等号は、$\bm{i}(\bm{x}’\to\infty)\to0$および定常電流の保存則：$\nabla’\cdot\bm{i}(\bm{x}’)=0$による。
続いて、
\begin{align}
\Delta \,\bm{A}(\bm{x})&=\Delta\,\frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’ \frac{\bm{i}(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\nonumber\\
&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \dd^3x’ \bm{i}(\bm{x}’)\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\nonumber\\
&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V_\varepsilon} \dd^3x’ \bm{i}(\bm{x}’)\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V_\mathrm{out}} \dd^3x’ \bm{i}(\bm{x}’)\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\label{eq: deltaA_calc}
\end{align}
ここで、最後に$r:=|\bm{x}-\bm{x}’|<\varepsilon$の微小領域を$V_\varepsilon$とし、その外部の領域を$V_\mathrm{out}$とした。このとき、$V_\mathrm{out}$においては常に$r\neq0$より、
\begin{align}
\Delta\,\left(\frac{1}{r}\right)&=\nabla\cdot\left(-\frac{(x-x’)}{r^3},-\frac{(y-y’)}{r^3},-\frac{(z-z’)}{r^3}\right)\nonumber\\
&=-\frac{3}{r^3}+\frac{3\left[(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2\right]}{r^5}=0\label{eq: calc_vecA_poisson1}
\end{align}
であるため、$V_\mathrm{out}$の積分はゼロになる。
残った微小領域$V_\varepsilon$における積分は、$\Delta\,|\bm{x}-\bm{x}’|^{-1}=\Delta’\,|\bm{x}-\bm{x}’|$とした上で、微小領域であるから$\bm{i}(\bm{x})$として積分の外に出してもよい。
\begin{align}
\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V_\varepsilon} \bm{i}(\bm{x}’)\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\,\dd^3x’&=\frac{\mu_0\bm{i}(\bm{x})}{4\pi}\int_{V_\varepsilon}\Delta’\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\,\dd^3x’\nonumber\\
&=\frac{\mu_0\bm{i}(\bm{x})}{4\pi}\int_{S_\varepsilon} \nabla’\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\cdot \bm{n}’\,\dd S\nonumber\\
&=\frac{\mu_0\bm{i}(\bm{x})}{4\pi} \dif{}{\varepsilon}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)4\pi\varepsilon^2=-\mu_0\bm{i}(\bm{x}).\label{eq: calc_vecA_poisson2}
\end{align}
ただし、領域$V_\varepsilon$でGaussの定理を適用することで、その表面$S_\varepsilon$の面積分に変換した。これを式\eqref{eq: deltaA_calc}に代入することで、
\begin{align}
\Delta \,\bm{A}(\bm{x})=-\mu_0\bm{i}(\bm{x})
\end{align}
を得る。最後に、式\eqref{eq: rot_B_eqeq1}に戻ると、$\nabla\times\bm{B}(\bm{x})=-\Delta \,\bm{A}(\bm{x})$より、
\begin{align}
\nabla\times\bm{B}(\bm{x})=\mu_0\bm{i}(\bm{x}).\label{eq: static_B_law2}
\end{align}
これが静磁場の基本法則の2つ目である。これを微分形のAmpèreの法則ともいう。ただし、こちらも電場のときと同様に残念ながら時間変動したときには成立せず、
\begin{align}
\nabla\times \bm{B}(\bm{x},t)-\frac{1}{c^2}\del{\bm{E}(\bm{x},t)}{t}=\mu_0\bm{i}(\bm{x})
\end{align}
のように修正されることを後で見る。
静磁場の積分形の基本法則
静磁場の場合には、式変形によって先に微分形の表式が得られた。一方で実験的には、微小電流$\bm{i}$などは用意できないから積分形の方が使いやすい。
まずは、定常電流を右ねじの進行方向にみなして囲む閉曲線$C$と、その内部の面$S$を考えて微分形のAmp`{e}reの法則：$\nabla\times\bm{B}(\bm{x})=\mu_0\bm{i}(\bm{x})$を適用する。
\begin{align}
\int_S \nabla\times\bm{B}(\bm{x})\,\dd S&=\mu_0\int_S\bm{i}(\bm{x})\,\dd S,\\
\Leftrightarrow \oint_C \bm{B}(\bm{x})\cdot\dd \bm{x}&=\mu_0I.
\end{align}
ここで、左辺にはStokesの定理を利用し、右辺は断面を通過する電流$I$になおした。これを積分形のAmp`{e}reの法則という。
一方で、磁場のGaussの法則：$\nabla\cdot\bm{B}(\bm{x})=0$については、任意の領域$V$とその表面$S$に対して適用して、Gaussの定理を利用する。
\begin{align}
\int_V\nabla\cdot\bm{B}(\bm{x})\,\dd^3x&=0,\
\Leftrightarrow \int_S\bm{B}(\bm{x})\cdot\bm{n}(\bm{x})\,\dd S&=0.
\end{align}
これは、積分形のGaussの法則という。
コメント