静電ポテンシャルの多重極展開
ここでは、静電ポテンシャルの多重極展開を行う。これは単に数学的な処理で、Taylor展開のように静電ポテンシャルを寄与の大きい部分から徐々に寄与が小さい項へと展開していく。この結果を物理的に解釈すると、連続的な電荷分布を離れたところから見た場合に多重極子が順番に現れる。
多重極展開の表式
まず電荷分布$\rho(\bm{x}’)$が与えられたときに、位置$\bm{r}$における静電ポテンシャル$\phi(\bm{r})$を考える。このとき、$\bm{r}$と$\bm{x}’$のなす角を$\theta$とする。
電荷分布から十分離れた位置から観測するとして、$r\gg x’$の場合を考える。そこで、静電ポテンシャルを次のように整理する。
\begin{align}
\phi(\bm{r})&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \dd^3x’ \frac{\rho(\bm{x}’)}{|\bm{r}-\bm{x}’|}\nonumber\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \dd^3x’ \frac{\rho(\bm{x}’)}{\sqrt{r^2-2(\bm{r}\cdot\bm{x}’)+\bm{x}’^2}}\nonumber\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) \frac{1}{\sqrt{1-2\frac{x’}{r}\cos\theta+\left(\frac{x’}{r}\right)^2}}\nonumber\\&=:\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) \frac{1}{\sqrt{1-2ax+x^2}}.
\end{align}
ただし、最後に$a=\cos\theta, x=x’/r$とおいた。
$x\ll1$の場合、マクローリン展開のうち低次の項のみで静電ポテンシャルを表現できる。それを目指して、まずはマクローリン展開していく。
\begin{align}
\left.\left(\frac{1}{\sqrt{1-X}}\right)^{(k)}\right|_{X=0}=\frac{1}{k!}\frac{(2k-1)!!}{2^k}
\end{align}
より、
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-X}}&=1+\frac{1}{2}X+\frac{1}{8}X^3+\dots+\frac{1}{k!}\frac{(2k-1)!!}{2^k}X^k+\dots
\end{align}
と展開できる。
ここで、
\begin{align}
X^k=(2ax-x^2)&=\sum_{\ell=0}^k{}_k\mathrm{C}_\ell (2ax)^\ell (-x^2)^{k-\ell}\nonumber\\
&=\sum_{\ell=0}^k \frac{(-1)^{k-\ell}k!}{\ell!(k-\ell)!}2^\ell a^\ell x^{2k-\ell}
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-X}}&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\frac{(2k-1)!!}{2^k} X^k\nonumber\\
&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\frac{(2k-1)!!}{2^k} \sum_{\ell=0}^k \frac{(-1)^{k-\ell}k!}{\ell!(k-\ell)!}2^\ell a^\ell x^{2k-\ell}\nonumber\\
&=\sum_{k=0}^\infty\sum_{\ell=0}^k \frac{(-1)^{k-\ell}(2k-1)!!}{2^{k-\ell}\ell!(k-\ell)!} a^\ell x^{2k-\ell}
\end{align}
と書ける。
ここで、$n=2k-\ell$とおくことで$x^n$の展開式とみなす。さらに、$\ell=n-2m$とおくことで計算を進める。すなわち、
\begin{align}
n&=2k-\ell = m+k=(k-\ell)+k,\\
m&=\frac{n-\ell}{2}=k-\ell
\end{align}
を用いて、和を書き直すことになる。もともと、$\ell$は、$0\le \ell\le k$の範囲で走る変数であるから、
\begin{align}
0&\le n-2m\le n-m\nonumber\\
\Rightarrow 2m &\le n\le n+m \nonumber\\
\Rightarrow 0&\le m\le n/2
\end{align}
が$m$の走る範囲である。よって、ガウス記号(注：$[n/2]$とは、$n/2$を超えない最大の整数を表す。これを表す[]をガウス記号という)を用いて、
\begin{align}
\begin{cases}
k: & 0\to\infty\\
\ell: & 0\to k
\end{cases}
\qquad\Rightarrow\qquad
\begin{cases}
n: & 0\to\infty\\
m: & 0\to [n/2]
\end{cases}
\end{align}
の対応によって和を取り直せばよいと分かる。
よって、
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-X}}
&=\sum_{k=0}^\infty\sum_{\ell=0}^k \frac{(-1)^{k-\ell}(2k-1)!!}{2^{k-\ell}\ell!(k-\ell)!} a^\ell x^{2k-\ell}\nonumber\\
&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^{m}(2n-2m-1)!!}{2^{m}m!(n-2m)!} a^{n-2m} x^{n}
\end{align}
と書ける。ここで、$x^n$の係数は、次のLegendre(ルジャンドル)関数$P_n(a)$に一致することが分かる。
\begin{align}
P_n(t)=\sum_{m=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^{m}(2n-2m-1)!!}{2^{m}m!(n-2m)!} t^{n-2m}
\end{align}
したがって、
\begin{align}
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{x}’|}&=\frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1-2\frac{x’}{r}\cos\theta+\left(\frac{x’}{r}\right)^2}}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{x’}{r}\right)^n
\end{align}
と表せることが分かった。ここで、静電ポテンシャルの多重極展開に戻ると、
\begin{align}
\phi(\bm{r})
&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) \frac{1}{\sqrt{1-2\frac{x’}{r}\cos\theta+\left(\frac{x’}{r}\right)^2}}\nonumber\\
&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) \sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{x’}{r}\right)^n
\end{align}
を得る。
Legendre関数の具体形は、
\begin{align*}
P_0(\cos\theta)=1,P_1(\cos\theta)=\cos\theta,
P_2(\cos\theta)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\ \ P_3(\cos\theta)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\dots
\end{align*}
であるから、
\begin{align}
\phi(\bm{r})
&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) \sum_{n=0}^\infty \left[1+\frac{x’\cos\theta}{r}+\frac{1}{2}(3\cos^2\theta-1)\frac{x’^2}{r^2}+\dots\right]\nonumber\\
&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’) }{r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’)\bm{r}\cdot\bm{x}’ }{r^3}\nonumber\\
&\qquad+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\int \dd^3x’ \rho(\bm{x}’)\sum_{i,j=0}^3 3\left(x’_ix’_j-\frac{1}{3}\delta_{ij}\bm{x}’^2\right)r_ir_j}{2r^5}+\dots\nonumber\\
&=: \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\bm{p}\cdot \bm{x}’ }{r^3}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3\sum_{i,j=0}^3Q_{ij}r_ir_j }{2r^5}+\dots\label{eq: phi_multipole_exp}
\end{align}
と展開される。このように展開したときの各項が、多極子になるのだが一つずつ見ていこう。
単極子
まずは、最も単純な単極子で、
\begin{align}
Q:= \int \dd^3x’\, \rho(\bm{x}’)
\end{align}
はこれまでもよく見てきた全電荷$Q$である。
双極子
次の項は、双極子であり、
\begin{align}
\bm{p}:=\int \dd^3x’\, \rho(\bm{x}’)\bm{r}
\end{align}
で表される$\bm{p}$は電気双極子モーメントと呼ばれる。いまは、電荷が連続分布の場合で考えているが、
最も単純な電気双極子は、全電荷がゼロであり、2個の正負の点電荷からなるときにつくられる。点電荷$+q$と$-q$が置かれた場合を考え、$-q$から$+q$の位置に向かうベクトルを$\bm{\ell}$とすると、
\begin{align}
\bm{p}=q\bm{\ell}\label{eq: def_em_dipole_vec}
\end{align}
によって表すことができる。これは電気双極子モーメントの一例である。
さて、電気双極子がつくる電場も求めておこう。
\begin{align}
\del{}{x}\left(\frac{\bm{r}\cdot\bm{p}}{r^3}\right)=(\bm{r}\cdot\bm{p})\del{}{x}\frac{1}{r^3}+\frac{\bm{p}}{r^3}\cdot\del{\bm{r}}{x}=-\frac{3x(\bm{r}\cdot\bm{p})}{r^5}+\frac{p_x}{r^3}
\end{align}
などより、
\begin{align}
\nabla\left(\frac{\bm{r}\cdot\bm{p}}{r^3}\right)=-\frac{3\bm{r}(\bm{r}\cdot\bm{p})}{r^5}+\frac{\bm{p}}{r^3}
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\bm{E}(\bm{r})=-\grad\phi(\bm{r})=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\bm{r}}{r^3}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\left[-\frac{\bm{p}}{r^3}+\frac{3\bm{r}(\bm{r}\cdot\bm{p})}{r^5}\right]+\dots
\end{align}
と書ける。
したがって、
\begin{align}
\bm{E}_\mathrm{dipole}(\bm{r})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\left[-\frac{\bm{p}}{r^3}+\frac{3\bm{r}(\bm{r}\cdot\bm{p})}{r^5}\right]\label{eq: edipole_E_rep}
\end{align}
が電気双極子のつくる電場である。
四重極子
最後にさらに複雑になる電気四重極子をみていく。
\begin{align}
Q_{ij}:=\sum_{i,j=0}^3 \left(x’_ix’_j-\frac{1}{3}\delta_{ij}\bm{x}’^2\right)
\end{align}
で表される$Q_{ij}$は電気四重極子モーメントと呼ばれるテンソルである。今回の場合は、$3\times3$の行列で次のように表すこともできる。
\begin{align}
\bm{Q}(\bm{x}’)=
\left(\begin{array}{ccc}x’^2_1-\frac{1}{3}x’^2&x’_1x’_2&x’_1x’_3\\x’_2x’_1&x’^2-\frac{1}{3}x’^2&x’_2x’_3\\x’_3x’_1&x’_3x’_2&x’^2_3-\frac{1}{3}x’^2\end{array}\right)
\end{align}
この場合、以下のように計算を進めることができる。
\begin{align}
\sum_{i,j=0}^3 Q_{ij}r_ir_j &= \transpose{\bm{r}}\bm{Q}\bm{r}\nonumber\\
&=(r_1, r_2, r_3)\left(\begin{array}{ccc}x’^2_1-\frac{1}{3}x’^2&x’_1x’_2&x’_1x’_3\nonumber\\x’_2x’_1&x’^2-\frac{1}{3}x’^2&x’_2x’_3\nonumber\\x’_3x’_1&x’_3x’_2&x’^2_3-\frac{1}{3}x’^2\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r_1\\r_2\\r_3\end{array}\right)\nonumber\\
&=(r_1, r_2, r_3)\left(\begin{array}{c}r_1x’^2_1-\frac{1}{3}r_1x’^2 +r_2x’_1x’_2+r_3x’_1x’_3\\r_1x’_2x’_1+r_2x’^2_2-\frac{1}{3}r_2x’^2 +r_3x’_2x’_3\\r_1x’_3x’_1+r_2x’_3x’_2+r_3x’^2_3-\frac{1}{3}r_3x’^2\end{array}\right)\nonumber\\
&=r_1^2x’^2_1-\frac{1}{3}r_1^2x’^2 +r_1r_2x’_1x’_2+r_1r_3x’_1x’_3\nonumber\\
&\quad+r_2r_1x’_2x’_1+r_2^2x’^2_2-\frac{1}{3}r_2^2x’^2 +r_2r_3x’_2x’_3\nonumber\\
&\quad\quad+r_3r_1x’_3x’_1+r_3r_2x’_3x’_2+r_3^2x’^2_3-\frac{1}{3}r_3^2x’^2\nonumber\\
&=(r_1x’_1+r_2x’_2+r_3x’_3)^2-\frac{1}{3}r^2x’^2\nonumber\\
&=\bm{r}\cdot\bm{x}’-\frac{1}{3}r^2x’^2.
\end{align}
これにより、たしかに式\eqref{eq: phi_multipole_exp}の第3項が、この電気四重極子モーメント$Q_{ij}$を用いて表されることが分かる。この項の$r$に対する依存性は$\propto 1/r^3$であり、さらに次の項はまた$1/r^4$に比例する電気八重極子と続いていき、どんどん表現が複雑になっていく。
まとめ
以上のように、$r\gg x’$のように離れた位置$\bm{r}$から電荷分布$\rho(\bm{x}’)$を見ると、まずは全電荷$Q$が原点にあるとしたときの静電場が見え始める。さらに細かく見ていくと、次に$\bm{p}$による電気双極子による静電場の寄与が見え始める。さらに細かく見ると、次に$Q_{ij}$の電気四重極子の寄与が見え始める。というように、だんだんと近づくにつれて、電荷の分布が静電場に寄与していく様子が静電ポテンシャルの多重極展開によって表現されている。
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