5-4 電磁場のエネルギーと運動量

電磁場のエネルギーと運動量

本記事では、Maxwell方程式をもとに電磁場のエネルギーと運動量について考える。

電磁場のエネルギー

電磁場のエネルギー保存がどのように記述されるかを調べる。ここでは、点電荷系と電磁場が存在する系を考える。このとき、自己場による自己力も含んだ点電荷の運動方程式は、
\begin{align}
m_i\ddif{\bm{r}_i(t)}{t}=\int_V\dd^3x\left(q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\bm{E}(\bm{x},t)+q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\dot{\bm{r}}_i(t)\times\bm{B}(\bm{x},t)\right) \end{align} と書ける。

この両辺に速度ベクトル$\bm{v}_i(t)=\dd \bm{r}_i(t)/\dd t$との内積をとって$i$について和をとると、第2項が直交するために消えて、 \begin{align} &\sum_im_i\bm{v}_i(t)\cdot\dif{\bm{v}_i(t)}{t}=\sum_i\int_V\dd^3x\left(q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\bm{v}_i(t)\cdot\bm{E}(\bm{x},t)\right) \end{align} を得る。 ここで、$\sum_iq_i\bm{v}_i(t)\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))$は点電荷系がつくる電流密度であるため、Maxwell方程式の式\eqref{eq: maxwell4_inChapMaxwell}より、 \begin{align} \sum_iq_i\bm{v}_i(t)\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t)):=\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x},t)=\rot \bm{H}(\bm{x}, t)-\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}
\end{align}
と書ける。よって、運動方程式は、
\begin{align}
\sum_i\dif{}{t}\left(\frac{1}{2}m_i\bm{v}_i^2(t)\right)&=\int_V\dd^3x\left(\rot \bm{H}(\bm{x}, t)-\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}\right)\cdot\bm{E}(\bm{x},t)\nonumber\\
&=\int_V\dd^3x\left(\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\rot \bm{H}(\bm{x}, t)-\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}\cdot\bm{E}(\bm{x},t)\right)\nonumber\\
&=\int_V\dd^3x\left(-\frac{1}{2}\del{}{t}\left(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H}\right)-\bm{H}\cdot\rot\bm{E}+\bm{E}\cdot\rot\bm{H}\right)
\end{align}
まで変形できる。ただし、最後の式変形では、
\begin{align}
\frac{1}{2}\del{}{t}\left(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H}\right)=\bm{E}\cdot\del{\bm{D}}{t}+\bm{H}\cdot\del{\bm{B}}{t}
\end{align}
より、Maxwell方程式の式\eqref{eq: maxwell2_inChapMaxwell}から、$\partial\bm{B}/\partial t=\rot\bm{E}$を用いた。

ベクトル恒等式：
\begin{align}
\divergence\left(\bm{E}\times\bm{H}\right)=\bm{H}\cdot\rot\bm{E}-\bm{E}\cdot\rot\bm{H}\label{eq: vec_div_ExH}
\end{align}
を用いると、最終的に運動方程式は次の形まで変形できる。
\begin{align}
\dif{}{t}\left[\sum_i\dif{}{t}\left(\frac{1}{2}m_i\bm{v}_i^2(t)\right)+\frac{1}{2}\int_V\dd^3x\left(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H}\right)\right]=-\int_V\divergence\left(\bm{E}\times\bm{H}\right)\dd^3x.
\end{align}

この式を、物理学ではエネルギー保存の式であると解釈する。まず、いま考えていたのは点電荷系と電磁場からなる系であったが、それらを分離することに成功している。左辺の第1項は全点電荷系の運動エネルギーを表している。古典力学の範疇なら、運動エネルギーの時間変化はなす仕事の量に等しいはずである。しかし、いま考えている電磁気学においては、2つの電磁場に関係する項が存在する。まず、左辺の時間微分を含むものは電磁場のもつエネルギーであると解釈できる。そして右辺は、Gaussの定理を用いると領域$V$の表面$S$における面積分に変わり、
\begin{align}
-\int_V\divergence\left(\bm{E}\times\bm{H}\right)\dd^3x=-\int_S \bm{S}\cdot\bm{n}\dd S
\end{align}
となる。これは電磁場に関するベクトル量である$\bm{S}$が、領域$V$から湧き出す(抜け出ていく)量を表す。この物理量$\bm{S}$をPoyntingベクトルという。このPoyntingベクトルなる量が、表面$S$の法線ベクトル成分の値をもつとエネルギーの流れが存在することになり、全エネルギーが減少することを意味する。

以上の結果をまとめると、電磁場のエネルギー$U_\mathrm{em}$とPoyntingベクトル$\bm{S}$の表式は次のように得られた。

電磁場の運動量

再び、点電荷系と電磁場が存在する系を考える。このとき、自己力も含んだ点電荷の運動方程式は、
\begin{align}
m_i\ddif{\bm{r}_i(t)}{t}=\int_V\dd^3x\left(q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\bm{E}(\bm{x},t)+q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\dot{\bm{r}}_i(t)\times\bm{B}(\bm{x},t)\right) \end{align} であった。今回は、そのまま$i$について和をとると、

\begin{align}
\sum_im_i\dif{\bm{v}_i(t)}{t}&=\sum_i\int_V\dd^3x\left(q_i\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}_i(t))\left\{\bm{E}(\bm{x},t)+\dot{\bm{r}}_i(t)\times\bm{B}(\bm{x},t)\right\}\right)\nonumber\\
&=\sum_i\int_V\dd^3x\left(\bm{E}(\bm{x},t)\divergence\bm{D}(\bm{x},t)+\left(\rot \bm{H}(\bm{x}, t)-\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}\right)\times\bm{B}(\bm{x},t)\right)
\end{align}

とできる。 また、

\begin{align} \del{}{t}\left(\bm{D}\times\bm{B}\right)=\del{\bm{D}}{t}\times\bm{B}+\bm{D}\times\del{\bm{B}}{t}=\del{\bm{D}}{t}\times\bm{B}-\bm{D}\times\rot\bm{E} \end{align}

より、

\begin{align} &\dif{}{t}\left(\bm{G}\mathrm{m}(t)+\frac{1}{c^2}\int_V\dd^3x\bm{S}(\bm{x},t)\right)\nonumber\\
&\quad=\int_V\dd^3x\left(\bm{E}(\bm{x},t)\divergence\bm{D}(\bm{x},t)-\bm{D}(\bm{x},t)\times\rot\bm{E}(\bm{x},t)-\bm{B}(\bm{x},t)\times\rot\bm{H}(\bm{x},t)\right)\label{eq: em_field_mom_eq1}
\end{align}
まで変形できる。ただし、全点電荷系の運動量$\bm{G}_\mathrm{m}:=\sum_im_i\bm{v}_i(t)$を用いた。 運動方程式を変形して得られたこの式は、左辺の運動量の時間変化は、右辺の力に等しいと解釈できる。左辺の第2項は、電磁場のエネルギーの流れを表すPoyntingベクトルが現れている。つまり、 \begin{align} \bm{G}_\mathrm{f}:=\frac{1}{c^2}\int_V\dd^3x\bm{S}(\bm{x},t)
\end{align}
は電磁場のもつ運動量であると解釈できる。

したがって、右辺は力であると解釈できるはずであるが、このままでは見通しが悪い。そこで、次の量を考える。

$i,j=x,y,z$として、
\begin{align}
T^e_{ij}(\bm{x},t)&:=\varepsilon_0\left(E_i(\bm{x},t)E_j(\bm{x},t)-\frac{1}{2}\delta_{ij}\bm{E}^2(\bm{x},t)\right),\\
T^m_{ij}(\bm{x},t)&:=\frac{1}{\mu_0}\left(B_i(\bm{x},t)B_j(\bm{x},t)-\frac{1}{2}\delta_{ij}\bm{B}^2(\bm{x},t)\right)
\end{align}
とする。これは、行列で書くと、
\begin{align}
(T^e)=
\left(\begin{array}{ccc}
T^e_{xx} & T^e_{xy} & T^e_{xz} \\
T^e_{yx} & T^e_{yy} & T^e_{yz} \\
T^e_{zx} & T^e_{zy} & T^e_{zz} \\
\end{array}\right)
=\varepsilon_0
\left(\begin{array}{ccc}
E_x^2-\frac{1}{2}\bm{E}^2 & E_xE_y & E_xE_z \\
E_yE_x & E_y^2-\frac{1}{2}\bm{E}^2 & E_yE_z \\
E_zE_x & E_zE_y & E_x^2-\frac{1}{2}\bm{E}^2 \\
\end{array}\right)
\end{align}
と表せる。
これらをまとめて、
\begin{align}
T_{ij}(\bm{x},t):=T^e_{ij}(\bm{x},t)+T^m_{ij}(\bm{x},t)\label{eq: Maxwell_stress_tensor_def}
\end{align}
という量を考える。
すると、次で定義される$\divergence \bm{T}^\mathrm{e}$は、
\begin{align}
\left(\divergence \bm{T}^\mathrm{e}\right)x&:=\sum_i \del{T^\mathrm{e}_{ix}}{x_i}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\del{}{x}\left(E_x^2-E_y^2-E_z^2\right)+\del{}{y}(E_yE_x)+\varepsilon_0\del{}{z}(E_zE_x)\nonumber\\
&=\varepsilon_0\left(\del{E_x}{x}+\del{E_y}{y}+\del{E_z}{z}\right)E_x-\varepsilon_0\left(\del{E_y}{x}-\del{E_x}{y}\right)+\varepsilon_0E_z\left(\del{E_x}{z}-\del{E_z}{x}\right)\nonumber\\
&=\varepsilon_0E_x\divergence\bm{E}-\varepsilon_0(\bm{E}\times\rot\bm{E})_x
\end{align}
と計算できる。磁場についても同様であるから、
\begin{align}
\divergence\bm{T}^\mathrm{e}&=\varepsilon_0(\bm{E}\divergence\bm{E}-\bm{E}\times\rot\bm{E})\\
\divergence\bm{T}^\mathrm{m}&=\frac{1}{\mu_0}(\bm{B}\divergence\bm{B}-\bm{B}\times\rot\bm{B})\nonumber\\
&=-\frac{1}{\mu_0}\bm{B}\times\rot\bm{B}
\end{align}
最後の式変形では、$\divergence\bm{B}(\bm{x},t)=0$を用いた。

よって、
\begin{align}
\divergence\bm{T}&=\varepsilon_0(\bm{E}\divergence\bm{E}-\bm{E}\times\rot\bm{E})-\frac{1}{\mu_0}\bm{B}\times\rot\bm{B}\nonumber\\
&=\bm{E}\divergence\bm{D}-\bm{D}\times\rot\bm{E}-\bm{B}\times\rot\bm{H}
\end{align}
となる。式\eqref{eq: em_field_mom_eq1}は$\divergence\bm{T}$を用いて、
\begin{align}
\dif{}{t}\left(\bm{G}_\mathrm{m}(t)+\bm{G}_\mathrm{f}(t)\right)=\int_V\dd^3x\, \divergence\bm{T}(\bm{x},t)=\int_S\bm{T}(\bm{x},t)\cdot\bm{n}(\bm{x})\dd S
\end{align}
と書ける。ここでも、Gaussの定理を適用した。

つまり、点電荷系と電磁場の全運動量は左辺の$\bm{G}_\mathrm{m}(t)+\bm{G}_\mathrm{f}(t)$であり、この時間変化は閉曲面$S$にかかる力$\int_S\bm{T}(\bm{x},t)\cdot\bm{n}(\bm{x})\dd S$に等しいということである。この意味で、$\bm{T}$は閉曲面$S$に対して外部から与えられる電磁的な応力とみなせるため、Maxwellの応力という。このことから、式\eqref{eq: Maxwell_stress_tensor_def}は、Maxwellの応力テンソルと呼ばれる2階テンソルである。

電磁場のエネルギー再考

これまでの議論で、電磁場のエネルギーと運動量についての重要事項は述べた。ここからは、もう少し異なる視点から電磁場のエネルギーを考察してみる。

まず、上の議論では点電荷系と電磁場からなる系を考えた。ここでは、電磁場だけの系を考えてみる。
Maxwell方程式から出発し、$\bm{E}$と式\eqref{eq: maxwell4_inChapMaxwell}の内積および$\bm{H}$と式\eqref{eq: maxwell2_inChapMaxwell}の内積を計算すると、
\begin{align}
&\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\left(\rot \bm{H}(\bm{x}, t)-\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}\right)=\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\bm{i}_\mathrm{e},\\
&\bm{H}(\bm{x},t)\cdot\left(\rot\bm{E}(\bm{x},t)+\del{\bm{B}(\bm{x},t)}{t}\right)=0 \end{align}

となる。この2式の差分をとると、

\begin{align} -\bm{E}\cdot\del{\bm{D}}{t}-\bm{H}\cdot\del{\bm{B}}{t}+\bm{E}\cdot\rot \bm{H}-\bm{H}\cdot\rot \bm{E}=\bm{E}\cdot\bm{i}_\mathrm{e}
\end{align}
となる。ここで、式\eqref{eq: vec_div_ExH}でも用いたベクトル恒等式: $\divergence\left(\bm{E}\times\bm{H}\right)=\bm{H}\cdot\rot\bm{E}-\bm{E}\cdot\rot\bm{H}$により、
\begin{align}
-\del{}{t}\left(\frac{1}{2}\bm{D}\cdot\bm{E}+\frac{1}{2}\bm{H}\cdot\bm{B}\right)=\bm{E}\cdot\bm{i}_\mathrm{e}+\divergence(\bm{E}\times\bm{H}) \end{align}

と書ける。左辺は式\eqref{eq: def_Uem_energy}で導入された電磁場のエネルギーである。また、右辺の$\bm{E}\times\bm{H}$は式\eqref{eq: def_S_Poynting}で導入されたPoyntingベクトルである。つまり、

\begin{align} -\del{}{t}U_\mathrm{em}(t)=\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x},t)+\divergence \bm{S}(\bm{x},t) \end{align}

となる。右辺の残りの$\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x},t)$は、ジュール熱である。電磁場のエネルギーの時間変化は、エネルギーの流出量を表すPoyntingベクトルの発散と、ジュール熱による熱エネルギーの放出によって表現される。

静電場と静磁場のエネルギー

静電場のエネルギーについては、式点電荷を運ぶ仕事量から導出することができていた。電場を用いて次のように書けるのだった。
\begin{align}
U_\mathrm{e}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{E}^2(\bm{x})
\end{align}

時間に依存する電磁場のエネルギーは、式\eqref{eq: def_Uem_energy}より、
\begin{align}
U_\mathrm{em}(t)&:=\frac{1}{2}\int_V\dd^3x\left(\bm{E}(\bm{x},t)\cdot\bm{D}(\bm{x},t)+\bm{B}(\bm{x},t)\cdot\bm{H}(\bm{x},t)\right)\nonumber\\
&=\frac{\varepsilon_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{E}^2(\bm{x},t)+\frac{\mu_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{H}^2(\bm{x},t)
\end{align}
と書けた。
第1項目については、静電場のエネルギーをそのまま拡張した形になっており、電場のエネルギーとみなせるはずである。すると、磁場のエネルギーは2項目となり、やはり静磁場のエネルギーについても、
\begin{align}
U_\mathrm{m}=\frac{\mu_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{H}^2(\bm{x})
\end{align}
が成り立ちそうである。これは、電場と磁場の対称性から考えても、成り立っていてほしい関係式である。ただし、磁場のときは、磁荷がないために静電場のエネルギーを求めたときに用いた電荷を運んでくる手法は使えない。そこで、ソレノイド中の一様磁場を用いて、コイルに蓄えられるエネルギーを求めることによって、上の等式が成り立つことを以下に示す。
コイルの単位長さあたりの巻き数が$n$のソレノイドを考える。このソレノイドは、長さが$\ell$であり、その断面積は$S$とし、コイルに流す電流を$I$とする。ソレノイドの磁場については、すでに計算済みであり、
\begin{align}
B=\mu_0nI,\ \ \ \Phi=\int_S \bm{B}\cdot \bm{n}\dd S=BSn\ell
\end{align}
である。この関係式を逆に利用すると、一様磁場$B$をソレノイドに印加したときに生じる起電力を電流$I$の時間変化によって次のように表せる。
\begin{align}
\phi^\mathrm{em}=-\dif{\Phi}{t}=-\mu_0n^2S\ell \dif{I}{t}.
\end{align}
したがって、このときの消費電力は、
\begin{align}
W&=\int(-\phi^\mathrm{em})I\dd t=\mu_0n^2S\ell\int I\dif{I}{t}\dd t\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\mu_0S\ell n^2I^2=\frac{B^2}{2\mu_0}S\ell = \frac{1}{2}\mu_0H^2S\ell =\frac{\mu_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{H}^2(\bm{x})
\end{align}
と書ける。これは、一様磁場によってコイルに蓄えられたエネルギーと解釈できるが、これを磁場が持っているエネルギーと解釈すれば、
\begin{align}
U_\mathrm{m}=\frac{\mu_0}{2}\int \dd^3x\, \bm{H}^2(\bm{x})
\end{align}
が得られたと言える。