電流は磁場から力を受け、電流は磁場をつくる
前回の記事では、磁場の記述に必要な定常電流についての基本事項を整理した。ここから、いよいよ磁場について考えていく。ここでは、時間変動しない磁場のことを静電場に対応させて静磁場というが、定常電流がつくる磁場という意味である。
静磁場の導入
もちろん磁石が存在するときにそのまわりにつくられるのは磁場といえる。しかし、ここでは電流がつくる磁場という形で議論を進めていく。実験事実として、1つの導線に定常電流を流したときに、近くで同様に定常電流が流れる導線があると、力を受けることが知られていた。この場合は、定常電流がまわりに磁場をつくり、その磁場が近くの定常電流に対して力を与えていると考えられる。この場の概念については、静電場のとき同様である。磁場の場合には磁荷に働く力から磁場を分離することができないため、磁場を先に用意してしまう。その上で、電流が磁場から受ける力であるAmpèreの力と、電流が磁場をつくる法則のBiot-Savartの法則を紹介することにする。静磁場の導入方法が静電場と対応していることは、Biot-Savartの法則を紹介してから再び考えることにする。
電流が磁場から受ける力
Ampèreの力
まず最初に紹介するAmpèreの力とは、磁場$\bm{B}$が存在する場合に、定常電流$I$に働く力のことである。導線の微小長さ$\Delta s$に働く力$\Delta F$は、実験によると$|\Delta \bm{F}|=BI\Delta s$で、その力の向きは磁場と電流に直交する向きであった。これは、フレミングの左手の法則でも示される関係である。これをベクトル形式で書くと、外積を用いて次のように書ける。
\begin{align}
\Delta F(\bm{x})=I\Delta s\times\bm{B}(\bm{s}).\label{eq: def_ampere_force}
\end{align}
ただし、右辺の磁場$\bm{B}$は自己場すなわち自分自身の電流$I$が作り出す磁場は含まれていない。
Lorentzの力
Ampèreの力を微小系で考えなおし、長さ$\Delta x$、断面積$\Delta S$の導線に流れる定常電流に働く力は、
\begin{align}
\Delta F(\bm{x})=f(\bm{x})\Delta S\Delta x = \bm{i}(\bm{x})\Delta S\Delta x \times \bm{B}(\bm{x})
\end{align}
である。つまり、導線内の単位体積あたりに働く力の密度$\bm{f}(\bm{x})$は、
\begin{align}
\bm{f}(\bm{x})=\bm{i}(\bm{x}) \times \bm{B}(\bm{x})
\end{align}
である。ここで、電流は電子の流れによってつくられることを明示的に示すと、$\bm{i}(\bm{x})=\rho(\bm{x})\bm{v}$である。ただし、$\rho(\bm{x})$は電荷密度、$\bm{v}$は電子の速度ベクトルである。したがって、電流内の電子に働く力で書き直すことで、
\begin{align}
\bm{f}(\bm{x})=\rho(\bm{x})\,\bm{v} \times \bm{B}(\bm{x})
\end{align}
を得る。導出過程から明らかなように、これはAmp`{e}reの力と等価である。
最後に、これまで得られていた静電場$\bm{E}(\bm{x})$により電荷に働くCoulombの力と合わせると、電磁場中の荷電粒子に働くLorentzの力が次のように得られる。
\begin{align}
\bm{f}(\bm{x})=\rho(\bm{x})\left[\bm{E}(\bm{x})+\bm{v} \times \bm{B}(\bm{x})\right].\label{eq: def_Lorentz_force}
\end{align}
電流がつくる磁場
Biot-Savartの法則
上で紹介したAmpèreの力は、静磁場が定常電流に対して与える力であったが、次は定常電流がつくる静磁場について考える。1820年に、J. Biot(ビオ)とF. Savart(サバール)によって、定常電流がまわりにつくる磁場が実験的に測定された。その結果、$z$軸上にある導線に定常電流を流し、$z$軸から距離$R$だけ離れた位置につくる磁場の大きさは次のように表せることが分かった。
\begin{align}
B(R)=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}
\end{align}
これは、以前の記事で得られた$z$軸上の一様な無限長帯電棒がつくる電場：
\begin{align}
E(R) = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\frac{\lambda}{R}
\end{align}
と非常によく似ている。また、この導出過程を思い出すと、微小電荷$\lambda\dd z’$がつくる微小電場：
\begin{align}
\dd E_R=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\lambda\sin\theta\, \dd z’}{r^2}
\end{align}
であったから、
\begin{align}
\dd B_R=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\sin\theta\, \dd s}{r^2}
\end{align}
であろうと推測できる。また、電流と位置の関係と、磁場の向きの関係を考えてベクトル形式にすれば次のBiot-Savartの法則が得られる。
\begin{align}
\dd\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\dd\bm{s}\times\bm{r}}{r^3}.
\end{align}
しかし、微小電荷$\lambda \dd z’$を取り出した場合とは異なり、微小電流$I\dd \bm{s}$は取り出せないために物理的な意味は持たない。そこで、現代的な視点では、定常電流$I$が流れる導線上を積分することによって得られる表式が、物理的な意味を持つ表現であるといえる。
\begin{align}
\bm{B}(\bm{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{\dd\bm{s}\times(\bm{r}-\bm{s})}{|\bm r-\bm s|^3}.\label{eq: def_Biot_Savart}
\end{align}
さて、ここで改めて磁場$\bm{B}$について考える。この記事の冒頭で述べたように、実験的にははじめは電流間に働く相互作用が得られる。いま、電流$I_1$が距離$R$離れて平行に流れる電流$I_2$から単位長さあたりに受ける力$\Delta F_{12}$を求める。これは、式\eqref{eq: def_ampere_force}のAmpèreの力と、式\eqref{eq: def_Biot_Savart}のBiot-Savartの法則によって、
\begin{align}
|\Delta F_{12}|=I_1B(R)=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi R}
\end{align}
と書ける。ここまでくれば、静磁場の導入($F=IB$)が静電場($F=qE$)の導入と対応していることが理解できるはずである。「静磁場は定常電流に基づいて記述される」とは、このように電流間に働く力から静磁場を分離していることを意味している。
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