4-1 Ampère-Maxwellの法則

ここまでで、時間変動しない静電磁場について成り立つ次の基本法則が得られた。

非常にMaxwell方程式に近づいたが、もう一歩である。時間変動する電磁場においては、回転(rot)を含む方程式が修正される。

これまでは、時間変動しない電磁場を扱っていたが、これからは時間変動する場合にどう変わるかを考える。とはいっても、漠然と考えても指針がない。時間変動する電磁場を扱うためには、時間変化に関係する新たな実験結果が必要である。

Ampère-Maxwellの法則

電荷保存則

時間変動と関係する実験結果の1つとして、電荷保存則がある。

これは、任意の領域$V$の中の電荷の総量は時間変化しても不変であるということを主張している。さらに、左辺にGaussの定理を適用することで、両辺とも体積積分で表すことができる。
\begin{align}
\int_V \nabla\cdot\bm{i}(\bm{x},t)\,\dd^3 x=-\dif{}{t} \int_V \rho(\bm{x},t)\,\dd^3x.
\end{align}
さらに、領域$V$を固定すれば、右辺の時間微分と空間積分は交換してもよい。よって、
\begin{align}
\int_V \left(\nabla\cdot\bm{i}(\bm{x},t)+\del{\rho(\bm{x},t)}{t}\right)\,\dd^3 x=0
\end{align}
を得る。ここで領域$V$は任意であったから、各点$\bm{x}$において、以下が成立する。

ちなみに、時間変動しないとすれば第2項がゼロになるため、
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{i}(\bm{x})=0
\end{align}
となり、定常電流の保存則に帰着する。
すなわち、電荷保存則は定常電流の保存則を時間変動する場合にも有効な法則に一般化できていると考えられる。

変位電流

静電磁場の場合、式\eqref{eq: static_EB_law4}の発散をとってみると、ベクトル恒等式により、
\begin{align}
0=\nabla\cdot(\nabla\times\bm{H}) = \nabla\cdot\bm{i}_\mathrm{e}
\end{align}
となる。これは定常電流の保存則と矛盾しない。

一方で、時間変動する場合には、電荷保存則があるためそれと矛盾しないように式\eqref{eq: static_EB_law4}を修正する必要がある。そこで、Maxwellは以下のように修正した。

ここで、追加した第2項の$\partial\bm{D}/\partial t$を変位電流と呼ぶ。この修正により、両辺の発散をとったときに自動的に電荷保存則を満たす。
\begin{align}
0&=\nabla\cdot(\nabla \times \bm{H}(\bm{x}, t))-\nabla\cdot\del{\bm{D}(\bm{x},t)}{t}\nonumber\\
&=\nabla\cdot\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x},t)-\del{}{t}\nabla\cdot\bm{D}(\bm{x},t)\nonumber\\ &=\nabla\cdot\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x},t)+\del{\rho_\mathrm{e}(\bm{x},t)}{t}.
\end{align}
最後の変形では、式\eqref{eq: static_EB_law1}のGaussの法則を利用した。
これは式\eqref{eq: charge_inv_dif}の電荷保存則に他ならない。

時間変動する電磁場の基本法則1

以上の結果により、Ampère-Maxwellの法則を時間変動する電磁場の基本法則1とする。

これは式\eqref{eq: static_EB_law4}を修正したものになっている。