5-3 電磁ポテンシャルとゲージ変換

電磁ポテンシャルとゲージ変換

本記事でも、再びMaxwell方程式から出発する。ここでは、電磁ポテンシャルを導入する。さらに、ゲージ変換という特殊な変換を紹介し、Maxwell方程式がゲージ変換に対して不変であることを示す。これは、Maxwell方程式のゲージ不変性という。この性質を利用して、計算しやすいゲージを選び、表現を簡潔にすることができる。その例として、Lorenzゲージ、放射ゲージなどを紹介する。

電磁ポテンシャルで記述したMaxwell方程式

静電磁場においては、静電ポテンシャル$\phi(\bm{x})$とベクトルポテンシャル$\bm{A}(\bm{x})$がそれぞれ、$\bm{E}(\bm{x})=-\nabla\phi(\bm{x})$と$\bm{B}(\bm{x})=\nabla\times\bm{A}(\bm{x})$を満たすように導入された。時間変動する電磁場についても、同様にポテンシャルの役割を果たす電磁ポテンシャルが導入できる。

再び、Maxwell方程式から出発する。まず、$\bm{B}(\bm{x},t)=\nabla\times\bm{A}(\bm{x},t)$を式\eqref{eq: maxwell3_inChapMaxwell}に代入すると、自然に満たされることが分かる。これは時間変動しないときと同じ形であるため当然である。これを式\eqref{eq: maxwell2_inChapMaxwell}に代入すると、
\begin{align}
\nabla\times\left(\bm{E}(\bm{x},t)+\del{\bm{A}(\bm{x},t)}{t}\right)=\bm{0}=:\nabla\times(-\nabla\phi(\bm{x},t))
\end{align}
となる。これは静電場のときに$\nabla\times\bm{E}(\bm{x})=\bm{0}$だったものが修正された結果である。すなわち、
\begin{align}
\bm{E}(\bm{x},t)&=-\del{\bm{A}(\bm{x},t)}{t}-\nabla\phi(\bm{x},t)\\
\bm{B}(\bm{x},t)&=\nabla\times\bm{A}(\bm{x},t)
\end{align}
が新しく得られた関係式である。この$\phi(\bm{x},t)$と$\bm{A}(\bm{x},t)$を合わせて電磁ポテンシャルと呼ぶ。これは明らかに静電ポテンシャル$\phi(\bm{x})$とベクトルポテンシャル$\bm{A}(\bm{x})$を拡張したものである。

さて、ここまではMaxwell方程式のうち2式しか用いていない。残りの2式は、場の時間発展を記述するものだが、いま電磁ポテンシャルを導入したので、電磁ポテンシャルに関する式に書き換えた方が都合がよい。
まず、式\eqref{eq: maxwell4_inChapMaxwell}を物質中で$\bm{E}$-$\bm{B}$対応で、
\begin{align}
\nabla \times \bm{B}(\bm{x}, t)-\varepsilon\mu\del{\bm{E}(\bm{x},t)}{t}=\mu\bm{i}_\mathrm{e}(\bm x, t) \end{align}

と書ける。 ベクトル恒等式、$\rot \rot\bm{V}=\grad\,\divergence\bm{V}-\Delta \bm{V}$を用いると、

\begin{align} \left(\Delta-\varepsilon\mu \ddel{}{t}\right)\bm{A}-\nabla\left(\nabla\cdot\bm{A}+\varepsilon\mu\del{\phi}{t}\right)=-\mu\bm{i}_\mathrm{e}
\end{align}
を得る。

次に式\eqref{eq: maxwell1_inChapMaxwell}で、$\bm{D}=\varepsilon\bm{E}$とした上でポテンシャルの式を代入すると、
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{E}=-\nabla\cdot\left(\del{\bm{A}}{t}\right)-\Delta\phi=\frac{1}{\varepsilon}\rho_\mathrm{e}
\end{align}
となる。

よって、電磁ポテンシャルでMaxwell方程式を記述しなおすと以下の通りになる。

ゲージ変換

Maxwell方程式は次に紹介するようにゲージ変換に対して不変である。ゲージ変換については場の理論を学ぶときに非常に重要な役割を果たすため、ここではその最も基本的な一例としてMaxwell方程式の場合に紹介する。ここで、ゲージ変換の本質を理解することはできないため、あくまでゲージ変換という特殊な変換でMaxwell方程式が不変であるという事実を心に留めていただきたい。とはいえ、ゲージ変換は本質的な難しさとは別に、計算上非常に便利な場合がある。計算のしやすい形にゲージ変換を施すことで計算の見通しがよくなるという実用性もある。

Maxwell方程式におけるゲージ変換とは、
\begin{align}
\bm{A}(\bm{x},t)\to\bm{A}'(\bm{x},t)=\bm{A}(\bm{x},t)+\nabla \Lambda,\ \ \phi(\bm{x},t)\to\phi'(\bm{x},t)=\phi(\bm{x},t)-\del{\Lambda}{t}
\end{align}
の変換である。ここで、$\Lambda$は任意のスカラー量である。

この変換をしても、電場$\bm{E}$と磁場$\bm{B}$は変更を受けない。なぜなら、
\begin{align}
\bm{E}&\to -\del{}{t}\left(\bm{A}+\nabla \Lambda\right)-\nabla\left(\phi-\del{\Lambda}{t}\right)\nonumber\\
&=-\del{\bm{A}}{t}-\nabla\phi=\bm{E},\\
\bm{B}&\to\nabla\times\left(\bm{A}+\nabla \Lambda\right)\nonumber\\
&= \nabla\times\bm{A}=\bm{B},
\end{align}
となるからである。基本的な場であるこれらの量が不変ということは、Maxwell方程式は上のゲージ変換をしても不変であることが言える。また、証明は省略するが、このゲージ変換によって電磁ポテンシャルで記述したMaxwell方程式の形も不変に保たれる。このようにゲージ変換をしても方程式の形が変わらないことを、ゲージ不変性という。

さて、$\Lambda$は任意のスカラー量であったから、適当に選ぶことで方程式の形を変更することができる。このときは、ゲージ共変でなくなるが、問題に応じて適当なゲージを選ぶことができる。このように特定のゲージを選ぶことをゲージ固定という。

Lorenzゲージ

計算の都合上、便利なゲージ条件として有名なものとして、Lorenzゲージ、Coulombゲージ、放射ゲージなどがある。まずLorenzゲージを紹介する。あるゲージ変換によって得られる次の量がゼロになるとする。
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{A}\mathrm{L}+\varepsilon\mu\del{\phi_\mathrm{L}}{t}=\nabla\cdot\bm{A}+\varepsilon\mu\del{\phi}{t}+\Delta\Lambda-\varepsilon\mu\ddel{\Lambda}{t}=0.
\end{align}
このとき、$\Lambda$は次の方程式を満たすように選べばよい。上の条件はLorenz条件というため、このように選んだ$\Lambda$を$\Lambda_\mathrm{L}$と書く。
\begin{align}
\left(\Delta-\varepsilon\mu\ddel{}{t}\right)\Lambda_\mathrm{L}=-\left(\nabla\cdot\bm{A}+\varepsilon\mu\del{\phi}{t}\right).
\end{align}

このとき、式\eqref{eq: maxwell_no_cond3}は左辺第2項がLorenz条件により消え、
\begin{align}
&\left(\Delta-\varepsilon\mu \ddel{}{t}\right)\bm{A}_\mathrm{L}-\nabla\left(\nabla\cdot\bm{A}_\mathrm{L}+\varepsilon\mu\del{\phi_\mathrm{L}}{t}\right)=-\mu\bm{i}_\mathrm{e},\nonumber\\ &\left(\Delta-\varepsilon\mu \ddel{}{t}\right)\bm{A}_\mathrm{L}=-\mu\bm{i}_\mathrm{e} \end{align} を得る。同様に、式\eqref{eq: maxwell_no_cond4}は、Lorenz条件から$\bm{A}_\mathrm{L}$について消去すると、
\begin{align}
&\nabla\cdot\left(\del{\bm{A}}{t}\right)+\Delta\phi=-\frac{1}{\varepsilon}\rho_\mathrm{e},\nonumber\\
&\del{}{t}\left(-\varepsilon\mu\del{\phi_\mathrm{L}}{t}\right)+\Delta\phi_\mathrm{L}=-\frac{1}{\varepsilon}\rho_\mathrm{e}
\end{align}
と書ける。

よって、式\eqref{eq: maxwell_no_cond1}–\eqref{eq: maxwell_no_cond4}のMaxwell方程式系は、Lorenz条件のもとで次のように書ける。

このとき、特に電磁ポテンシャルについて対称性が良い形で書ける。
Lorenz条件を用いてゲージ固定したため、このようなゲージをLorenzゲージという。また、このときの電磁ポテンシャルは、Lorenzゲージにおける電磁ポテンシャルという。これはあくまでLorenzゲージに固定したことで制限をかけただけであり、一義的に決定されたわけではない。

放射ゲージ

Lorenzゲージの特別な場合として、$\rho_\mathrm{e}=0$かつ$\bm{i}_\mathrm{e}=\bm{0}$の自由場を考える。 このとき、

\begin{align} \phi\to\phi’=\phi_\mathrm{L}-\del{\Lambda_\mathrm{r}}{t}
\end{align}
において、
\begin{align}
\del{\Lambda_\mathrm{r}}{t}=\phi_\mathrm{L}
\end{align}
と選ぶことで、
\begin{align}
\phi_\mathrm{r}=0
\end{align}
とできる。これを放射条件と呼ぶ。この場合、$\phi_\mathrm{L}$については考える必要がなくなる。

このとき、最後の式はLorenzゲージにおいて$\phi_\mathrm{L}\to\phi_\mathrm{r}=0$としたことで$\nabla\cdot\bm{A}_\mathrm{r}=0$となった。この条件は、Coulombゲージという。すなわち、放射ゲージとはCoulombゲージの特別な場合にあたる。