5-1 Maxwell方程式

Maxwell方程式

電磁場の基本法則

これまで導出した結果をまとめると、電磁場の基本法則として以下の4つが得られたことになる。これを物質中のMaxwell方程式という。

これは、電磁場を定める基本法則といえる。その根拠として逆にこのMaxwell方程式から出発して、実験結果から得られた法則をすべて説明できることを示す。

Coulombの法則の導出

Coulombの法則は静電場における法則であるため、Maxwell方程式を真空中で適用することで、
\begin{align}
&\nabla\cdot\bm{E}(\bm{x})=\frac{\rho_\mathrm{e}(\bm{x})}{\varepsilon_0},\\
&\nabla\times \bm{E}(\bm{x})=0
\end{align}
が成り立つ。よって、第2式から$\bm{E}(\bm{x})=-\nabla\phi(\bm{x})$によりスカラーポテンシャル$\phi$を定義できる。これを第1式に代入することで、
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{E}(\bm{x})=-\Delta\,\phi(\bm{x})=\frac{\rho_\mathrm{e}(\bm{x})}{\varepsilon_0}
\end{align}
を得るが、これはPoisson方程式である。

この解を求める作業は、ベクトルポテンシャルに対して行った計算が参考になる。このときは、
\begin{align}
\frac{\mu_0}{4\pi}\int \bm{i}(\bm{x}’)\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\,\dd^3x’=-\mu_0\bm{i}(\bm{x})
\end{align}
となった。つまり、
\begin{align}
\Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)=-4\pi \delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}’)
\end{align}
とみなせることを意味する。

よって、
\begin{align}
\frac{\rho_\mathrm{e}(\bm{x})}{\varepsilon_0}&=\frac{1}{\varepsilon_0}\int \rho_\mathrm{e}(\bm{x}’)\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}’)\,\dd^3 x’\nonumber\\
&=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho_\mathrm{e}(\bm{x’}) \Delta\, \left(\frac{1}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\right)\,\dd^3 x’\nonumber\\
&=-\Delta\,\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_\mathrm{e}(\bm{x’})}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\,\dd^3 x’\right)=-\Delta\,\phi(\bm{x})
\end{align}
と変形できる。すなわち、Poisson方程式の解として、
\begin{align}
\phi(\bm{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_\mathrm{e}(\bm{x’})}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\,\dd^3 x’
\end{align}
が得られた。これは静電ポテンシャルの表式に一致する。

したがって、この静電ポテンシャルから得られる電場は、
\begin{align}
\bm{E}(\bm{x})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int \dd^3 x’ \rho(\bm{x’}) \frac{(\bm{x}-\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}
\end{align}
を得る。こうして得られた電場の表式はCoulombの法則から得られた電場の表式に一致する。
やはり、Maxwell方程式から出発することでCoulombの法則が導かれることが確認できた。

Biot-Savartの法則の導出

Biot-Savartの法則は静磁場における法則であるため、Maxwell方程式を真空中で適用することで、

\begin{align}
&\nabla\cdot\bm{B}(\bm{x})=0,\\
&\nabla\times \bm{B}(\bm{x})=\mu_0 \bm{i}_\mathrm{e} \end{align}

が成り立つ。 ここで、第1式より$\bm{B}=:\nabla\times\bm{A}$によってベクトルポテンシャル$\bm{A}$を定義すれば自動的に満たされる。次に第2式に代入することで、

\begin{align} \nabla\times \bm{B}(\bm{x})=\nabla\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\Delta\,\bm{A}=\mu_0 \bm{i}_\mathrm{e}\label{eq: rot_B_eqeq1_inChapMaxwell}
\end{align}
を得る。

ただし、今回は$\bm{A}$の具体的な表式はまだ知らないので$\nabla\cdot\bm{A}=0$は導かれない。しかし、ここでは$\nabla\cdot\bm{A}=0$を仮定して計算を進めることで、特別なケースの$\bm{A}$の解を求めてみる。そこで、
\begin{align}
\Delta\,\bm{A}=-\mu_0 \bm{i}_\mathrm{e}
\end{align}
の解をまず求める。これは、ベクトルポテンシャルに対して行った計算をそのまま用いて、

\begin{align}
\bm{A}(\bm{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\bm{i}(\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|}\dd^3x’\label{eq: vec_A_expression_inChapMaxwell}
\end{align}
を得る。これはBiot-Savartの法則をもとに構築したベクトルポテンシャルの表式と一致する。
つまり、これの発散はすでに計算した通り、
\begin{align}
\nabla\cdot\bm{A}=0
\end{align}
を満たす。よって、式\eqref{eq: vec_A_expression_inChapMaxwell}の解は式\eqref{eq: rot_B_eqeq1_inChapMaxwell}の解になっていることが確かめられた。

したがって、このベクトルポテンシャルから得られる磁場は、
\begin{align}
\bm{B}(\bm{x})=\nabla\times\bm{A}(\bm{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\dd^3x’\,\frac{\bm{i}_\mathrm{e}(\bm{x}’)\times(\bm{x}-\bm{x}’)}{|\bm{x}-\bm{x}’|^3}
\end{align}
を得る。こうして得られた磁場の表式はBiot-Savartの法則に一致する。
やはり、Maxwell方程式から出発することでBiot-Savartの法則が導かれることが確認できた。